Скалярний добуток позитивно визначений якщо він одночасно позитивний і певний, іншими словами, якщо ‖ x ‖ 2 > 0, якщо x ≠ 0 . Внутрішній добуток є від’ємним напіввизначеним або просто від’ємним, якщо ‖ x ‖ 2 ≤ 0 завжди. 20 травня 2024 р.
Простір внутрішнього добутку — це векторний простір, наділений внутрішнім добутком. Приклади. V = Rn. (x,y) = x · y = x1y1 + x2y2 + ··· + xnyn.
Позитивно визначена матриця визначається як симетрична матриця, кожне власне значення якої додатне.
Симетрична дійсна матриця A розміром n на n є позитивно визначеною, якщо Транспонування[v]Av додатне для будь-якого ненульового вектора-стовпця v з n дійсних чисел. Усі дійсні діагональні матриці з додатними діагональними елементами є додатно визначеними. Позитивно-визначені матриці використовуються для визначення внутрішніх продуктів.
Якщо скалярний добуток від'ємний, тоді кут більше 90 градусів і один вектор має компоненту в протилежному напрямку до іншого. Таким чином, простий знак скалярного добутку дає інформацію про геометричне співвідношення двох векторів.
Скалярний добуток додатний напіввизначений, або просто додатний, якщо ‖ x ‖ 2 ≥ 0 завжди. Внутрішній добуток є додатно визначеним, якщо він і додатний, і визначений, іншими словами, якщо ‖ x ‖ 2 > 0, якщо x ≠ 0 . Внутрішній добуток є від’ємним напіввизначеним або просто від’ємним, якщо ‖ x ‖ 2 ≤ 0 завжди.